Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя школа № 8

«ЗАГАДОЧНЫЙ БЕСПОРЯДОК»

Работу выполнили

Боровик Владислав, Колбасина Полина,

Осипова Софья, учащиеся 9 класса

МАОУ СШ № 8

Руководители:

Толкачева Наталья Сергеевна,

учитель I квалификационной категории,

Коптелова Татьяна Анатольевна,

учитель высшей квалификационной категории

МАОУ СШ № 8

с.п. Новосмолинский, 2017 год

Оглавление

Введение. 3

Глава 1. Фрактальные кривые. 6

1.1. Понятие фрактала. 6

1.2. Размерность фракталов. 7

1.3. Классификация фракталов. 8

Глава2 . Применение фракталов. 10

2.1.Компьютерная графика. 10

2.2. Фракталы в дизайне. 10

2.3. Фракталы в архитектуре. 11

2.4. Фракталы в природе. 12

2.5. Фракталы в телекоммуникации. 12

2.6. Фракталы в экономике. 13

2.7. Фракталы в медицине. 15

Глава 3. Построение и моделирование фракталов. 17

3.1. Построение фракталов с помощью компьютерных программ. 17

Заключение. 27

Литература. 28

Фрактальные узоры – во множестве одно.
Законам мироздания в них всё подчинено.
Закон самоподобия исходен и могуч,
Ему подвластно многое от листьев и до туч.

Иванова С.

Введение

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь. Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы.

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее, даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

Проблема:

Когда мы учились в 8 классе, при изучении темы подобия геометрических фигур, учитель упомянул о существовании самоподобных фигур, именуемых фракталами. Мы заинтересовались этим понятием и решили подробнее его изучить. Воспользовавшись поиском в интернете, мы натолкнулись на море информации о фракталах. Посоветовавшись с учителем, мы решили провести исследование на эту тему, а затем создать проектную работу на немного отвлечённую тему о фракталах: «Загадочный беспорядок»

Актуальность:

Данная тема сейчас весьма актуальна, так как фракталы все чаще встречаются в жизни и в различных науках.

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников. Однако, этот набор, как не сложно заметить, трудно применим для описания сложных объектов, таких как, турбулентный поток жидкости, пористые материалы, форма облаков, кровеносно-сосудистая система, крона дерева.

Природа так загадочна, что чем больше изучаешь ее, тем больше вопросов появляется. Ночные молнии – синие «струи» ветвящихся разрядов, морозные узоры на окне, снежинки, горы, облака, кора дерева – все это выходит за рамки привычной евклидовой геометрии. Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. Поэтому необходимы были новые геометрические понятия и методы для описания этих объектов. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Фракталы - множества точек в пространстве, обладающие свойством самоподобия: некоторые их части являются точными уменьшенными копиями целого. Это новое направление в математике, совершившее переворот, сравнимый по значимости с теорией относительности и квантовой механикой. Объекты фрактальной геометрии по своему внешнему виду резко отличаются от привычных для нас правильных геометрических фигур. Для них разработано понятие размерности, способной принимать дробные значения. Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение в различных областях науки и культуры.

Гипотеза: Мы предположили, что в ходе выполнения работы мы сможем рисовать в различных средах фракталы.

Цель проекта:

разработать и реализовать на компьютере в различных средах алгоритмы создания некоторых фракталов на плоскости, исследовать способы их

описания.

Задачи:

• знакомство с понятием фрактала и историей его возникновения
• знакомство с различными видами фрактальных множеств;
• изучение научно-популярной литературы по данному вопросу, знакомство с научными гипотезами;
• изучение применения фракталов в других науках и на практике;
• проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений в различных средах;
• оформление работы в электронном виде

В работе мы использовали следующие методы:

• аналитический,
• поисковый,
• практический.

План исследования:

• собрать и изучить литературу о фракталах;
• провести анализ полученных данных;
• исследовать существующие программы для создания фракталов;
• написать программы для создания простейших фракталов;
• сделать выводы;
• оформить работу в электронном виде.

Структура работы представлена введением, тремя главами, заключением, списком литературы, приложением.

Практическая значимость:

Мы должны научиться строить фракталы в программах Apophysis и Incendia Next и самим написать программы в PascalABC построения простейших фракталов.

Глава 1. Фрактальные кривые

1.1. Понятие фрактала

«Фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Фрактал может употребляться тогда, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

- обладает нетривиальной структурой для любых масштабов. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину;

- является самоподобной или приближённо самоподобной;

- обладает дробной метрической размерностью.[12]

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке. Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». [14]

Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах - это и есть принцип самоподобия. [7] Фракталы подобны самим себе, они похожи сами на себя на всех уровнях (т.е. в любом масштабе). Существует много различных типов фракталов. В принципе, можно утверждать, что всё, что существует в реальном мире, является фракталом, будь то облако или молекула кислорода. На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее нерегулярный, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали те объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не изменяема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. [13] В 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха». Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. [8]

В 1975 году Бенуа Мандельброт предложил понятие «фрактал» для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Это слово образовано от латинского слова fractus и в переводе означает «дробленный». Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему. [11]

1.2. Размерность фракталов

В отличие от топологической размерности, фрактальный коэффициент может принимать не целое значение, показывая то, что фрактальное множество заполняет пространство не так, как его заполняет обычное геометрическое множество. Например, кривая с фрактальной размерностью очень близкой к 1, скажем 1.10, ведёт себя вполне как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1.9 намотана в пространстве, почти как поверхность. Подобным образом, ведет себя поверхность с фрактальной размерностью 2.1. Она заполняет пространство почти как обычная поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2.9 сворачивается и стремится заполнить пространство почти как объём. [9]

Фрактальная размерность измеряет сложность. Это понятие связано с определенными особенностями фракталов: самоподобие, шаблон и неравномерность. Фрактальные кривые имеют сложность в виде самоподобия и шаблонов, чего нет у обычных линий. Самоподобие лежит в бесконечном масштабе, а шаблон в определяющих элементах каждого множества. Длина между любыми двумя точками этих кривых не определена, потому что теоретически данные конструкции никогда не останавливаются, а повторяют себя бесконечное количество раз. Каждая меньшая часть состоит из бесконечного числа масштабных сегментов, которые выглядят в точности как в первом шаге. [12] Это неспрямляемые кривые, то есть мы не можем разбить их на отдельные сегменты и вычислить приблизительную длину. Однако, их фрактальные размерности могут быть определены. Они показывают, как заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, также это позволяет сравнивать их между собой (рис.1).

Рис. 1. Заполнение пространства фракталами

Итак, фрактальные кривые с любой размерностью показывают тип самоподобия, который в точности повторяет начальный шаблон.

1.3. Классификация фракталов

Строят такие кривые путем бесконечного повторения простой операции. Линия делится на равные отрезки, и на каждом делается изгиб в виде треугольника. Затем на всех сторонах получившейся фигуры в свою очередь выгибаются аналогичные треугольники, но уже меньшего размера. Продолжая построение до бесконечности, можно получить кривую, "сломанную" в каждой точке.

На Рис. 3 приведены примеры геометрических фракталов.

Рис. 3 Геометрические фракталы

Снежинка Коха Треугольник Серпинского Лист папоротника

Алгебраическая группа фракталов получила такое название потому, что они образуются при помощи алгебраических формул. Это самая большая группа фракталов. Формула рассчитывается до тех пор, пока выполняется определённое условие. И каждый раз на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек плоскости может иметь разное поведение. [10]

Примером алгебраического фрактала служит множество Мандельброта.

Рис. 4. Множество Мандельброта

Их можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное, первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями (рис.4). [6]

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, когда в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры.

Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими.

Итак, фракталы делятся на геометрические, алгебраические и стохастические. Главное их свойство – самоподобие.

Глава2 . Применение фракталов

2.1.Компьютерная графика

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, для сжатия данных. Создаваемая математическими формулами, фрактальная графика, один из современных и оригинальных видов искусства, завоевывает все больше поклонников. Для его создания не нужны карандаши или краски, все проще и сложнее одновременно.

Итальянская художница Сильвия Кордедда (Silvia Cordedda) создает, без преувеличения, потрясающей красоты картины, которые являются результатом расчетов фрактальных объектов с последующим визуальным отображением. Сильвию привлекла особенность фракталов повторять очертания цветов. Используя специализированные программы, автор «выращивает» растения, которые не встретишь в реальном мире. Но мы можем насладиться ими сейчас. [4]

2.2. Фракталы в дизайне

Дизайн в современном мире охватывает настолько широкую область применения, что для описания всех его разновидностей и областей применения не хватит нескольких книг. Дизайнер Джин Баронс в конце 70-ых впервые использовала фракталы в дизайне одежды. В настоящее время можно встретить фракталы в дизайне предметов интерьера, мебели, паркета, столешниц, подносов, витражей, ваз. [6]

2.3. Фракталы в архитектуре

Одно из определений фракталов гласит, что это геометрическая фигура, состоящая из частей, являющихся уменьшенной копией целого. Эта трактовка позволяет относиться к фракталу как к объекту геометрии. В архитектуре применяются геометрические фракталы. Архитектура во многих своих проявлениях есть мимезис – отражение природы, ее принципов строения форм, конструкций, поверхностей, сочетания цветов и т.д. Повторение законов природы в архитектурном формообразовании позволило нашим предшественникам на интуитивном уровне создать фрактальные здания и сооружения.

Сооружения с элементами фрактала:

Треугольник Серпинского Карма

Эйфелева башня - замечательное творение конструктора Гюстафа Эйфеля. Это самая известная архитектурная достопримечательность Парижа, известная как символ Франции, воздвигнутая на Марсовом поле. [1]

На рисунке хорошо видны геометрические элементы самоподобия, характерные для фракталов.

Созданная корейским скульптором Ду Ху Са инсталляция «Карма» - семиметровая башня из 98 вылитых из нержавеющей стали фигур, снизу более крупные и растянуты вверх до бесконечности, как фрактал. В настоящее время эта скульптура установлена в художественном музее Нового Орлеана. Ее высота всего 7 метров, но за счет необычной формы у зрителя складывается впечатление, что она бесконечна. [2]

2.4. Фракталы в природе

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву.

Фрактальная структура одного дерева может прогнозировать, как будет функционировать весь лес (изучение одного дерева позволит предсказать, сколько углекислого газа перерабатывает весь лес в целом), а это важно знать для прогнозов, касающихся глобального потепления.

Если посмотреть на космические снимки морского побережья, то мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя.

2.5. Фракталы в телекоммуникации

В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны фрактальной формы. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала.

Натан Коэн (Nathan Cohen) после посещения лекции Бенуа Мандельброта в Будапеште загорелся идеей практического применения полученных знаний. Правда, сделал он это интуитивно, и не последнюю роль в его открытии сыграл случай. Будучи радиолюбителем, Натан стремился создать антенну, обладающую как можно более высокой чувствительностью. Вместо того чтобы изготовить антенну традиционной формы, Коэн взял кусок алюминиевой фольги и вырезал из него фигуру в форме математического объекта, известного как кривая Коха. Строя кривую Коха, Коэн ограничился только двумя-тремя шагами. Затем он наклеил фигуру на небольшой лист бумаги, присоединил ее к приемнику и с удивлением обнаружил, что она работает не хуже обычных антенн. Натан Коэн даже вывел теорему, доказывающую, что для создания широкополосной антенны достаточно придать ей форму самоподобной фрактальной кривой. Автор запатентовал свое открытие и основал фирму по разработке и проектированию фрактальных антенн Fractal Antenna Systems, справедливо полагая, что в будущем благодаря его открытию сотовые телефоны смогут избавиться от громоздких антенн и станут более компактными. Как оказалось позднее, его изобретение стало родоначальником принципиально нового типа антенн, ныне выпускаемых серийно.[3]

Антенны эти очень компактны: встроенная в корпус фрактальная антенна для мобильного телефона имеет размер обычного слайда (24 х 36 мм). Кроме того, они работают в широком диапазоне частот. Все это обнаружено экспериментально, теории фрактальных антенн пока не существует.[3]

2.6. Фракталы в экономике

Теория фракталов в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка.

Теория фракталов широко применяется в экономике, для анализа финансовых рынков. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги. Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход из-за того, что цены на акции и облигации постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда ожидания покупателя не сбывались и цены на купленные бумаги начинали падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит: цена то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.

Так происходило до тех пор, пока американский финансист Чарльз Доу не опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом, Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период.[2]

В середине двадцатого века другой известный американский финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов. [2]

Волновая Теория Эллиота – одна из старейших теорий технического анализа. Основой теории служит так называемая волновая диаграмма. Волна – это различимое ценовое движение. Следуя правилам развития массового психологического поведения, все движения цен разбиваются на пять волн в направлении более сильного тренда, и на три волны – в обратном направлении. Например, в случае доминирующего тренда мы увидим пять волн при движении цены вверх и три – при движении (коррекции) вниз.

Для обозначения пятиволнового тренда используют цифры, а для противоположного трехволнового – буквы. Каждое из пятиволновых движений называют импульсным, а каждое из трехволновых - коррективным.

Волновая диаграмма Эллиота

Эллиот предположил, что каждая из только что показанных импульсных и коррективных волн также представляет собой волновую диаграмму. В свою очередь, те волны тоже можно разложить на составляющие и так далее. Таким образом, Эллиот применил теорию фракталов для разложения тренда на более мелкие и понятные части. Знание этих частей в более мелком масштабе, чем самая большая волновая диаграмма, важно потому, что рейдеры (участники финансового рынка), зная, в какой части диаграммы они находятся, могут уверенно продавать ценные бумаги, когда начинается коррективная волна, и должны покупать их, когда начинается импульсная волна.[3]

К сожалению, само существование теории фракталов трудно совместимо с классической наукой. Однако, фракталы непредсказуемы, когда изучаешь хаотическую систему, то можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью фракталов не только нельзя построить точный прогноз, но и, соответственно, проверить его. На современном этапе еще не существует математически точного аппарата применения теории фракталов для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о фракталах нельзя. Вместе с тем, это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.

2.7. Фракталы в медицине

В человеческом организме множество фракталоподобных образований — в структуре кровеносных сосудов и различных протоков, а также в нервной системе. В человеческом организме множество фракталоподобных образований — в структуре кровеносных сосудов и различных протоков, а также в нервной системе. В 1962 г. Э. Уэйбел, Д. Гомес, а позже О. Раабе и его коллеги измерили длину и диаметр трубок в этой нерегулярной системе. Недавно ученые Брюс Дж. Уэст и Эри Л.Голдбергер в сотрудничестве с В. Бхаргавой и Т. Нельсоном из Калифорнийского университета в Сан-Диего повторно проанализировали такие измерения по слепкам легких человека и некоторых других видов млекопитающих.

Они пришли к заключению, что, несмотря на некоторые небольшие межвидовые различия, структура дыхательных путей всегда соответствует той, которая справедлива для размерностей фракталов. Многие другие системы органов также представляются фрактальными, хотя их размерности еще не были количественно оценены. [14]

Фракталоподобные структуры играют важную роль в нормальной механической и электрической динамике сердца. Во-первых, фракталополобная структура сердечных артерий и вен осуществляет кровоснабжение сердечной мышцы. Дж. Бассингтуэйт и X. фон Беек из Вашингтонского университета не так давно воспользовались фрактальной геометрией для объяснения аномалий в кровотоке к здоровому сердцу. Прекращение этого артериального потока может вызвать инфаркт миокарда (разрыв сердечной мышцы). Во-вторых, фракталоподобная структура соединительно-тканных образований (сухожилий) в самом сердце прикрепляет митральный и трехстворчатый клапаны к мышцам.

Также, по мнению биофизика Питера Бернса, работающего в Торонто, фракталы являются практическим методом построения математических моделей, которые смогут помочь в ранней диагностике раковых заболеваний.

На основании вышеизложенного, можно сделать вывод, что фракталы имеют широкое применение в различных областях науки, культуры, природе.

Глава 3. Построение и моделирование фракталов

3.1. Построение фракталов с помощью компьютерных программ

Так как генерация фрактала – процесс итерационный, то помимо фрактальной математики требуется компьютер, и соответствующее программное обеспечение. Программ для генерации фракталов большое множество. Большинство из них в открытом доступе (бесплатные), их легко можно скачать в интернете.

Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов. Например, описание снежинки Коха с помощью L-Systems в программе Fractint

Koch1 { ; Adrian Mariano from The Fractal Geometry of Nature by Mandelbrot

Angle 6 ;устанавливаем угол поворота 360/6=60 градусов

Axiom F--F--F ; Начальный рисунок для построения

F=F+F--F+F ; Правило преобразования символов }

В данном описании геометрические значения символов следующие:

F обозначает прочертить отрезок

+ поворот по часовой стрелке

- поворот против часовой стрелки

Второе свойство фракталов – самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского. Для его построения из центра равностороннего треугольника “вырежем” треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его – получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Фрактальная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Фрактальная графика незаменима при создании изображений облаков, гор, водных и других поверхностей очень напоминающих природные неевклидовые поверхности. Достаточно широко фрактальные изображения используются для оформления рекламных листовок, дискотек и веб-сайтов, методами фрактальной графики часто моделируют беспорядочный потоки и создают различные узоры. Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики.

Программы по созданию фрактальных изображений: [3]

• ArtDabbler;
• Fractal Explorer;
• Chaos Pro;
• Apophysis;
• Incendia Next;
• Mystica.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера. Получаемые фракталы иногда трудно отличить от фотографий или изображений реальных природных объектов. И чем больше таких совпадений, тем чаще в голову приходит мысль о том, что вся природа: и макрокосмос, и микрокосмос – это гигантское множество возникающих и исчезающих фракталов, что в сущности так и есть, ведь фрактал – это графический след нелинейных динамических процессов, которые и есть жизнь любых динамических систем.

Очень многие органические и неорганические формы в природе формируются аналогично. Облака, морские раковины, «домик» улитки, кора и крона деревьев, кровеносная система и так далее — случайные формы всех этих объектов могут быть описаны фрактальным алгоритмом. Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». [2] Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

Мы работали с программой IncendiaNext. Это свободно распространяемое программное обеспечение. Расскажем о некоторых свойствах данной программы. Открываем программу и отправляемся в редактор форм.

Рис. Редактор форм Рис. Свойства редактора форм

Для равномерного распределения объектов на поверхности выбираем редактор трансформаций.

Рис. Редактор трансформаций

Рис. Свойства редактора трансформаций

В программе мы можем выбрать любой материал, а также управлять камерой освещения поверхности рабочей области.

Рис. Материалы

Рис. Камера освещения

В программе Incendia Next существует множество возможностей для создания фрактала. Например, мы можем придать оттенок фракталу, выбрать текстуру и фон, сделав его более красочным. Ниже представлены наши работы.

3.2. Моделирование фракталов на языке PascalABC

Используя язык программирования PascalABC, мы написали программы, которые позволяют получать различные виды фракталов.

• Стохастический фрактал

2. Треугольники

3. Окружности

4. Дерево Пифагора